Primtallsfaktorisering
Med primtallsfaktorisering menes å bryte ned et tall til du sitter igjen med kun primtall som kan ganges sammen for å komme tilbake til det orginale tallet. Dette er en sikker metode for å finne blandt annet fellesnevnere. Kan også brukes til forenkling av brøk.
Eksempel 1, primtallsfaktoring av tallet 60
\(60 = 2 \times 30\)
2 er et primtall, dermed kan det ikke deles på flere ganger.
Men 30 er ikke et primtall, så det kan faktoriseres mer: \(30 = 2 \times 15\)
2 er et primtall, dermed kan det ikke deles på flere ganger.
Men 15 er ikke et primtall, så det kan faktoriseres mer: \(15 = 3 \times 5\)
3 og 5 er begge primtall, så da går det ikke ann å faktorisere mer.
Faktoriseringen blir da alle primtallene: \(2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60\)
Eksempel 2, forenkling av brøk med primtallsfaktorisering: forenkle brøken: \(\frac{630}{945}\)
Først gjør faktoriseringen:
\[ 630 = 3 \times 3 \times 5 \times 2 \times 7\\ 945 = 3 \times 3 \times 5 \times 3 \times 7\]
Nå kan vi sette faktoriseringene i en brøk, og stryke like mot like over og under streken, og vil sitte igjen med svaret.
\[ \require{cancel} \frac{630}{945} = \frac{\cancel{3} \times \cancel{3} \times \cancel{5} \times 2 \times \cancel{7}}{\cancel{3} \times \cancel{3} \times \cancel{5} \times 3 \times \cancel{7}} = \frac{2}{3}\]
Fellesnevner (LCM)
Fellesnevner, også kalt "Minste felle multiplum", og på engelsk, "Least Common multiple" (LCM).
LCM er det minste tallet som de oppgitte tallene er delelig på.
Brukes blandt annet for å få lik nevner i brøker. Trikset er å faktorisere tallet til det ikke er mulig å dele opp mer, deretter ta tallene du deler med, og hent ut de største tallene.
Eksempel 1, med vanlige tall i brøker: regn ut: \(\frac{50}{36} + \frac{50}{84}\)
Først må vi finne fellesnevneren.
Faktoriser ut 36 og 84, og hent ut de høyeste verdiene fra begge tall, 1 verdi kun 1 gang.
Fellesnevner blir 252.
\[ 36 = \underline{2} \times 18 \longrightarrow \underline{2} \times 9 \longrightarrow \underline{3} \times \underline{3} = 2^2, 3^2\\ 84 = \underline{2} \times 42 \longrightarrow \underline{2} \times 21 \longrightarrow \underline{3} \times \underline{7} = 2^2, 3, 7\\ 2^2 \times 3^2 \times 7 = 252\]
Så må vi finne ut hva vi skal gange med for å få 252 i nevnerne:
\[ 36 = 252 \div 36 = 7\\ 84 = 252 \div 84 = 3\]
Dermed kan vi regne ut: (husk å gange både under og over streken)
\[ \frac{50}{36} + \frac{50}{84} = \frac{50 \times 7}{36 \times 7} + \frac{50 \times 3}{84 \times 3} = \frac{350}{252} + \frac{150}{252} = \frac{500}{252}\]
Svaret her kan forenkles ytterligere ved å dele på 4 (dette tallet kan finnes via GCF metoden, eller via hoderegning såklart).
\[ \frac{500 \div 4}{252 \div 4} = \frac{125}{63}\]
Eksempel 2, med algebra: finn fellesnevneren (LCM) for: \(15a^2b\) og \(10ab^3\)
Bruk samme metode som ved vanlige tall. Faktoriser ut, hent ut de høyeste verdiene.
Fellesnevner blir \(30a^2b^3\)
\[ 15 = 3 \times 5 \longrightarrow 15a^2b = 3 \times 5 \times a^2 \times b\\ 10 = 2 \times 5 \longrightarrow 10ab^3 = 2 \times 5 \times a \times b^3\\ 2 \times 3 \times 5 \times a^2 \times b^3 = 30a^2b^3\]
Fellesnevner (GCF)
Fellesnevner, også kalt "Største felles divisor/faktor", og på engelsk, "Greatest Common Factor" (GCF).
GCM er det høyeste tallet som tallene er delelig på.
Vi bruker faktorering her også, men her henter vi ut den minste verdien som forekommer i alle faktoriseringene.
Eksempel 1, med vanlige tall: finn GCF for tallene 5, 10 og 20.
\[ 5 = 1 \times \underline{5}\\ 10 = 2 \times \underline{5}\\ 20 = 2 \times 10 \longrightarrow 2 \times \underline{5}\\ = 5\]
\(5\) er det minste tallet som forekommer i alle 3 tallene, dermed blir GCF: \(5\).
Tallene 5, 10 og 20 kan ikke deles på et tall høyere enn 5.
Eksempel 2, med brøk: forenkle brøken: \(\frac{500}{252}\)
Finn GCF for tallene 500 og 252:
\[ 500 = 2 \times 250 \longrightarrow 2 \times 125 \longrightarrow 5 \times 25 \longrightarrow 5 \times 5 = 2^2 \times 5^3\\ 252 = 2 \times 126 \longrightarrow 2 \times 63 \longrightarrow 3 \times 21 \longrightarrow 3 \times 7 = 2^2 \times 3^2 \times 7\]
\(2^2\) er det minste tallet som forekommer i begge tallene, dermed blir GCF: \(2^2 = 4\). Da kan vi forenkle brøken:
\[ \frac{500}{252} = \frac{500 \div 4}{252 \div 4} = \frac{125}{63}\]
Eksempel 3, algebra: finn GCF for de 3 uttrykkene: \(4x^2y\), \(2xy^2\) og \(10xy^2\)
Faktoriser og hent ut verdier:
\[ 4x^2y = 2 \times 2 \times x \times x \times y\\ 2xy^2 = 2 \times 2 \times x \times y \times y\\ 10xy^2 = 5 \times 2 \times x \times y \times y\\ = 2xy\]
2, x og y finnes i alle faktoriseringene og dette er de laveste verdiene, dermed blir GCF: \(2xy\).