Eksponenter er en måte å representere hvor mange ganger noe er opphøyd. Eksponenter er det motsatte av kvadratrot. Du får også kvadratroten av et tall ved å bruke 0,5 som eksponent.
Eksempler:
\[ 8^3 = 8 * 8 * 8\\ 3x^2 = x^2 + x^2 + x^2\\ x^2 = x * x\\ (3^2)^3 = 3^6\\ (x^m)^h = x^{mh}\\ (-x^2)^3 = -x^6\\ x^0 = 1\\\]
Det er ikke mulig å plusse eller subraktere eksponenter med ulik eksponent. Ikke mulig: \(x^3 + x^2 = ?\)
Mulig: \(x^2 + x^2 = 2x^2\)
Men det er mulig å gange og dele ulike eksponenter. For eksempel:
\[ x^3 * x^2 = x^{3+2} = x^5\\ \quad\\ \frac{2x^4}{x^3} = 2x^{4-3} = 2x^1 = 2x\]
Regler
Vi har noen eksponentregler, de er som følger:
Regel for ganging:
\[ \large{ x^ax^b = x^{a+b} }\]
Eksempel:
\[ 3x^2 \times 4x^3 = 12x^{2+3} = 12x^5\]
Power rule:
\[ \large{ (x^a)^b = x^{ab} }\]
Eksempel 1: forenkle uttrykket
\[ \frac{\left(x^{a+3}\right)^2}{x^{3-a}} = \frac{x^{(a+3)(2)}}{x^{3-a}} = \frac{x^{2a+6}}{x^{3-a}}\]
Eksempel 2: forenkle uttrykket nedenfor. Her distrubuerer vi eksponenten på alt inni parantesen over og under nevner
\[ \left(\frac{x^2y^3}{z}\right)^3 = \frac{\left(x^2y^3\right)^3}{(z)^3} = \frac{x^6y^9}{z^3}\]
Eksempel 3: forenkle uttrykket nedenfor
\[ \begin{align} x^9y^{2x}x^{\frac{9}{2}}y^{\frac{3x}{4}} &= x^{(9) + \frac{9}{2}}y^{(2x) + \frac{3x}{4}} \\ &= x^{\frac{18}{2} + \frac{9}{2}}y^{\frac{8x}{4} + \frac{3x}{4}} \\ &= x^{\frac{27}{2}}y^{\frac{11x}{4}} \end{align}\]
Regel for deling: ("Quotient rule")
\[ \large{ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} }\]
Brukes der 2 eksponenter deles på hverandre. Forenkle til subtraksjon. Når man flytter en eksponent fra teller til nevner eller omvendt, endrer det fortegnet.
\[ \frac{y^{-1}z^3}{1} = \frac{z^3}{y^1}\\ \quad\\ x^{-a} = \frac{1}{x^a}\]
Basene må være like for å bruke denne regelen (\(\frac{y^4}{x^2}\) = ikke mulig)
Eksempel 1: forenkle uttrykket
\[ \begin{align} \frac{x^{2a+6}}{x^{3-a}} &= x^{(2a + 6) - (3-a)} \\ &= x^{2a + 6 - 3 + a} \\ &= x^{3a + 3} \end{align}\]
Eksempel 2: forenkle uttrykket
\[ \frac{x^3}{x^{-2}} = x^{3-(-2)} = x^{3+2} = x^5\]
Eksempel 3: forenkle uttrykket. Vi kan ta den største eksponenten minus den minste, der eksopnenten er størst.
\[ \frac{y^4z^5}{y^5z^2} = \frac{z^{5-2}}{y^{5-4}} = \frac{z^3}{y^1} = \frac{z^3}{y}\]
Eksempel 4: forenkle uttrykket. 2 forskjellige måter å løse dette på. Første er å bruke quotient regelen:
Ta hele tall først. Forenkle om mulig. Begge tall, 10 og 8 kan deles på 2. Deretter bruk regelen, subtraher alle eksponentene. Deretter bruk regel for fortegn og flytt over/under brøkstreken.
\[ \frac{10a^3bc^2}{8ab^2c} = \frac{5}{4}a^2b^{-1}c = \frac{5a^2c}{4b}\]
Metode nr 2 blir å skrive ut hele brøken og stryke like mot like, og vi vil fortsatt få samme svar.
\[ \require{cancel} \frac{10a^3bc^2}{8ab^2c} = \frac {5 \times \cancel{2} \times a \times \cancel{a} \times a \times \cancel{b} \times \cancel{c} \times c} {2 \times \cancel{2} \times 2 \times \cancel{a} \times b \times \cancel{b} \times \cancel{c}} = \frac{5a^2c}{4b}\]
Power 10
En vitenskapelig/"enklere" metode å skrive store tall i. Kan brukes på tall mellom 1 og 10. For eksempel: \(21.8^{-10}\) og \(0.18^{-10}\) er ikke gyldig, men \(2.18^{-10}\) er ok.
\[ 10^0 = 1 \\ 10^2 = 100 \\ 10^4 = 10000 \\ 10^{-2} = 0,01 \\ 10^{-4} = 0,0001\]
Ganging og deling av power 10
Ved ganging, flytt komma x ganger til høyre. Ved deling, flytt komma x ganger til venstre.
\[ -6.9 \times 10^7 = -69000000 \\ 4.32 \times 10^{-8} = 0.0000000432\]
Eksempel 1, ganging: Ved større regneoperasjoner, gang sammen normale tall først, deretter legg sammen eksponentene med eksponent-regelen over. Siden 12 er større en 10, legger vi til en eksponent for å få 1.2 istedenfor.
\[ \begin{align} \left(4 \times 10^{-5}\right) \times \left(3 \times 10^{-8}\right) &= 4 \times 3 = 12 \\ &= 10^{-5} \times 10^{-8} = 10^{-5-8} = 10^{-13} \\ &= 12 \times 10^{-13} \\ &= 1.2 \times 10^{1} \times 10^{-13} = 10^{1-(-13)} = 10^{-12} \\ &= 1.2 \times 10^{-12} \end{align}\]
Eksempel 2, deling: samme som ved ganging, skill/gruper mellom vanlige tall og power 10. Her også er 800000 større enn 10, så vi legger til en eksponent for å få verdien til 8.
\[ \begin{align} \frac{\left(40000 \times 10^{5}\right)\left(120 \times 10^{-20}\right)}{\left(0.003 \times 10^{-8}\right)\left(2000\right)} &= \frac{\left(40000 \times 120\right)\left(10^{5} \times 10^{-20}\right)}{\left(0.003 \times 2000\right)\left(10^{-8}\right)} \\ &= \frac{4800000 \times 10^{5+(-20)}}{6 \times 10^{-8}} \\ &= \frac{4800000 \times 10^{-15}}{6 \times 10^{-8}} \\ &= \frac{4800000}{6} \times \frac{10^{-15}}{10^{-8}} \\ &= 800000 \times 10^{-15-(-8)} \\ &= 800000 \times 10^{-15+8} \\ &= 800000 \times 10^{-7} \\ &= 8.0 \times 10^{5} \times 10^{-7} \\ &= 8.0 \times 10^{5+(-7)} \\ &= 8.0 \times 10^{5-7)} \\ &= 8.0 \times 10^{-2} \end{align}\]