Kvadratrot

Kvadratrot er tallet du må gange med seg selv for å få det orginaltallet. Kvadratrot er det motsatte av eksponenter. Du får også kvadratrot ved å bruke 0,5 som eksponent.

\(\sqrt{8}\) = tallet du må gange med seg selv for å få 8
\(\sqrt[3]{8}\) = tallet du må gange med seg selv 3 ganger for å få 8

Tallet i en kvadratrot må alltid være positivt. Hvis ikke, så er svaret udefinert.

\[ \sqrt{0} = 0\\ \sqrt[3]{x} = x^\frac{1}{3}\\ \sqrt[5]{x} = x^\frac{1}{5}\]

Velg en undermeny. Gå inn på de ulike for å se regler som gjelder for de ulike operasjonene.

Uttrykk med kvadratrot

Eksempel 1: forenkle uttrykket

\[ \sqrt{200} = \sqrt{100 * 2} = \sqrt{100} \sqrt{2} = 10\sqrt{2}\]

Eksempel 2: forenkle uttrykket

\[ \begin{align} 3\sqrt{2} + 6\sqrt{8} - \sqrt{18} &= 3\sqrt{2} + 6\sqrt{4 * 2} - \sqrt{9 * 2} \\ &= 3\sqrt{2} + 6\sqrt{4}\sqrt{2} - \sqrt{9}\sqrt{2} \\ &= 3\sqrt{2} + 6(2)\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \\ &= 3\sqrt{2} + 12\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \\ &= (3 + 12 - 3)\sqrt{2} \\ &= 12\sqrt{2} \end{align}\]

Avansert eksempel 1: forenkle uttrykket: fjern kvadratroter og gang ut verdier, pluss sammen eksponenter til slutt

Husk at tredjerot = \(x^{1 \over 3}\)

\[ \begin{align} \sqrt[3]{27\sqrt{3}} &= \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{\sqrt{3}} \\ &= \sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{3^{1 \over 2}} \\ &= \left(3^3\right)^{1 \over 3} \times \left(3^{1 \over 2}\right)^{1 \over 3} \\ &= 3^{3 \over 3} \times 3^{1 \over 6} \\ &= 3^{1 + {1 \over 6}} \\ &= 3^{\frac{6}{6} + \frac{1}{6}} \quad \text{(fellesnevner, 1 = 6/6)}\\ &= 3^{7 \over 6} \end{align}\]

Avansert eksempel 2: forenkle uttrykket: fjern kvadratrot i nevnere, skriv alle verdier som brøk, finn fellesnevner (for 7, 2 og 1 her = 14) og legg sammen

\[ \begin{align} 3\sqrt{\frac{2}{7}} - 5\sqrt{\frac{7}{2}} + 3\sqrt{56} &= 3\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} - 5\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} + 3\sqrt{4 * 14} \\ &= 3\frac{\sqrt{2}\sqrt{7}}{\sqrt{7}\sqrt{7}} - 5\frac{\sqrt{7}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} + 3\sqrt{4}\sqrt{14} \\ &= 3\frac{\sqrt{14}}{7} - 5\frac{\sqrt{14}}{2} + 6\sqrt{14} \\ &= \frac{2 * 3}{2 * 7}\sqrt{14} - \frac{7 * 5}{7 * 2}\sqrt{14} + \frac{14 * 6}{14 * 1}\sqrt{14} \\ &= \frac{6}{14}\sqrt{14} - \frac{35}{14}\sqrt{14} + \frac{84}{14}\sqrt{14} \\ &= \frac{55}{14}\sqrt{14} \end{align}\]

Avansert eksempel 3: forenkle uttrykket: fjern roter, gang opp verdiene (power rule), legg sammen eksponenter på like variabler, finn fellesnevner (her, x = 12 og y = 4) og legg sammen.

Husk at tredje/fjerderot = \(x^{1 \over rot}\)

\[ \begin{align} \sqrt[3]{x^5y^3} \ \sqrt[4]{xy^5} &= \left(x^5y^3\right)^{1 \over 3} \ \left(xy^5\right)^{1 \over 4} \\ &= x^{5 \over 3}y^{3 \over 3} \quad x^{1 \over 4}y^{5 \over 4} \\ &= x^{\frac{5}{3} + \frac{1}{4}} \quad y^{1 + \frac{5}{4}} \\ &= x^{\frac{5 * 4}{3 * 4} + \frac{1 * 3}{4 * 3}} \quad y^{\frac{4}{4} + \frac{5}{4}} \\ &= x^{\frac{20}{12} + \frac{3}{12}} \quad y^{\frac{9}{4}} \\ &= x^{\frac{23}{12}}y^{\frac{9}{4}} \end{align}\]